幾何構(gòu)造分析基本原理

01幾何“變不變”

相信在很小的時(shí)候，家里人或是老師都會(huì)告訴我們?yōu)槭裁此踔惖脑O(shè)施都會(huì)焊接成三角形的形式，因?yàn)槿切巫罘€(wěn)定嘛。

其實(shí)，這其中就包含了結(jié)構(gòu)分析原理中的一個(gè)重要概念：幾何可變體系與幾何不變體系。毫無(wú)疑問(wèn)的是，我們不能把結(jié)構(gòu)架設(shè)成幾何可變體系，否則外力一旦施加上去，它就會(huì)迅速變形失去其功能，甚至瞬間倒塌，比如下面圖中所展示的（虛線為變形后狀態(tài)）。

那么，我們要如何將上面的結(jié)構(gòu)變得“穩(wěn)固”呢？三角形是我們最容易想到的方法了。

其實(shí)，結(jié)構(gòu)的幾何構(gòu)造分析的主要目的就在于此，檢查并設(shè)法保證結(jié)構(gòu)的幾何不變性。但是，上面的例子結(jié)構(gòu)本身太過(guò)簡(jiǎn)單，并且分析方法太過(guò)于直覺化，對(duì)于更復(fù)雜，不這么直觀的結(jié)構(gòu)而言，比如下圖這樣：

這樣的所謂“一眼看”的分析方法就會(huì)變得不那么嚴(yán)謹(jǐn)，于是，一個(gè)更具有一般性的分析方法就變得尤為重要。

在正式提出分析方法之前，有必要先介紹兩個(gè)重要概念：一是自由度；二是約束。

學(xué)習(xí)一門新學(xué)科時(shí)，大多數(shù)人的內(nèi)心都對(duì)這種新名詞，新概念充滿了排斥感，其實(shí)這些新的概念也只是第一次接觸的時(shí)候會(huì)花些心思，等到正式運(yùn)用時(shí)，只會(huì)更方便。就像你第一次接觸方程時(shí)，老師給你傳遞一大堆概念和定義，但是現(xiàn)在我們只用提到方程這一概念，你就知道如何運(yùn)用處理問(wèn)題是一個(gè)道理。

02自由度  

在平面內(nèi)（之后討論的都是平面，而非三維空間），假設(shè)有一個(gè)自由點(diǎn)可以在平面內(nèi)自由移動(dòng)，我們可以用幾個(gè)數(shù)值對(duì)其位置狀態(tài)進(jìn)行描述呢？這是一個(gè)不太復(fù)雜的問(wèn)題，二維平面之所以叫二維，就是因?yàn)樵诙S平面內(nèi)可以用兩個(gè)量對(duì)面內(nèi)任意點(diǎn)的位置進(jìn)行描述，對(duì)此，我們稱這個(gè)自由點(diǎn)在平面內(nèi)的自由度為2。盡管我還沒有給出自由度的直接定義，但相信讀者已經(jīng)大概從這里有了自由度的初步“印象”了，就是自由的程度嘛。

可是我們都知道，結(jié)構(gòu)并不是一個(gè)點(diǎn)，比如我們?cè)谏蠄D中將點(diǎn)換成一個(gè)矩形，我們稱這個(gè)矩形叫剛片（剛度大，不會(huì)變形的平面剛體），讀者并不需要對(duì)矩形這個(gè)描述過(guò)于留下刻板印象，因?yàn)閯偲且粋€(gè)統(tǒng)稱，有的時(shí)候一條軸線也可以被稱為剛片，一個(gè)剛架也可以被稱為剛片，讀者只用留下剛片是具有體積、不會(huì)變形這一特征的印象即可。

那么，剛片在平面內(nèi)具有幾個(gè)自由度呢？如果你的回答是2的話，恭喜你回答對(duì)一半了，因?yàn)閯偲谄矫鎯?nèi)也具有自由點(diǎn)的性質(zhì)，可以在平面內(nèi)自由移動(dòng)。不過(guò)剛片不止是一個(gè)點(diǎn)，是具有空間形狀的，那么相對(duì)于點(diǎn)而言就多了一個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)——轉(zhuǎn)動(dòng)（比如時(shí)鐘里時(shí)針、分針繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)），所以對(duì)平面中的剛片進(jìn)行空間描述就需要用到三個(gè)度量值，它的自由度是3。

一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)體系如果有n 個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方式，那么這個(gè)體系就有n 個(gè)自由度。比如，一般在工廠里的一些機(jī)械設(shè)施，我們是希望它們能“動(dòng)”的，但是又希望它們只按照某一規(guī)定好的形式運(yùn)動(dòng)（比如說(shuō)傳送帶），那么這種機(jī)構(gòu)就有一個(gè)自由度。

而對(duì)于結(jié)構(gòu)而言，我們是不能允許結(jié)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動(dòng)的，所以幾乎所有結(jié)構(gòu)的自由度都為0，如果一個(gè)結(jié)構(gòu)的自由度大于0了，那這個(gè)體系就是幾何可變體系。

03約束   

萬(wàn)事萬(wàn)物有了自由，自然就有了約束，也很容易提前猜到，既然把約束放在自由度后面講，那么約束一定會(huì)減少自由度的大小。

支桿約束：

比如一根桿AB（用兩個(gè)端點(diǎn)編號(hào)命名），在平面內(nèi)是具有三個(gè)自由度的（可被看作是一個(gè)剛片），那么如果這樣的桿件被支座可動(dòng)鉸支座（又名鏈桿或支桿）與基礎(chǔ)連接住，此時(shí)的自由度又會(huì)有什么樣的變化呢？

由圖可知，此時(shí)AB桿的運(yùn)動(dòng)方式只有兩種了：一是整個(gè)桿通過(guò)A點(diǎn)繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，二是整個(gè)桿件繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，此時(shí)AB桿的自由度為2，在此就可以得到一個(gè)結(jié)論：一個(gè)支桿（上圖中的AC部分），相當(dāng)于一個(gè)約束，可以減少一個(gè)自由度（對(duì)于上面的原因了解即可，更重要的是這個(gè)結(jié)論）。

鉸： 

假如空間中有兩個(gè)獨(dú)立的桿件AB、BC，那么這個(gè)體系就具有6個(gè)自由度（兩個(gè)桿件各有3個(gè)自由度）。那如果我們用一個(gè)鉸把兩個(gè)桿件連在一起，自由度又會(huì)有什么樣的變化呢？

對(duì)于這個(gè)“雙節(jié)棍”，它并不是說(shuō)不能移動(dòng)了，它依然可以移動(dòng)，不過(guò)是兩個(gè)在一起整體移動(dòng)，所以對(duì)于整個(gè)體系而言可以看作是：包含了AB作為剛片的三個(gè)自由度加上BC只能繞B旋轉(zhuǎn)的一個(gè)自由度（因?yàn)锽C移動(dòng)部分的自由度可以用AB的移動(dòng)進(jìn)行描述），共4個(gè)自由度。

其實(shí)并不難理解，你可以這樣類比，公交車在地面上有三個(gè)自由度（可移動(dòng)，可轉(zhuǎn)彎），你也有三個(gè)自由度（可移動(dòng)，原地轉(zhuǎn)圈），可是你上了公交車后，你的空間移動(dòng)的量值其實(shí)就是公交車的移動(dòng)了。

同樣可以得到一個(gè)結(jié)論：一個(gè)鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束，可以減少兩個(gè)自由度。

剛結(jié)：

那如果兩個(gè)桿件是被剛結(jié)在一起，像下面“回旋鏢”一樣的造型呢？

很容易，新的體系其實(shí)可以看成是一個(gè)更大的剛片，只有三個(gè)自由度。

同樣可以得到一個(gè)結(jié)論：一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于三個(gè)約束，可以減少三個(gè)自由度。

我們匯總一下上面提到的三個(gè)結(jié)論：

一個(gè)支桿相當(dāng)于一個(gè)約束，可以減少一個(gè)自由度；

一個(gè)鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束，可以減少兩個(gè)自由度；

一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于三個(gè)約束，可以減少三個(gè)自由度。

有了自由度和約束的概念，我們就可以站在更科學(xué)的角度看待幾何可變以及幾何不變體系，對(duì)于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)也有了更方便的工具可以運(yùn)用了。